1.1 极限的定义与性质
例1.1.1 求证：当x趋于正无穷时，$frac{1}{x}$的极限为0。
证明：对于任意给定的正数$varepsilo$，我们可以选取一个足够大的正数$M$，使得当$xu003eM$时，有$|frac{1}{x} - 0| u003c varepsilo$，即$frac{1}{x} u003c varepsilo$。因此，对于所有的$varepsilo u003e 0$，存在$Mu003e0$满足定义1.1的条件。所以，当x趋于正无穷时，$frac{1}{x}$的极限为0。
1.2 连续函数的性质
例1.
2.1 证明：如果函数f(x)在点x=a处连续，那么对于任何实数x和任何正数h，有$|f(a h) - f(a)| leq |h| cdo |f(a)|$。
证明：根据连续函数的定义，我们有$|f(a h) - f(a)| = |h| cdo |f(a frac{h}{|h|})|$。由于f(x)在点x=a处连续，所以当$|h|$足够小，有$|f(a frac{h}{|h|}) - f(a)| u003c |h| cdo |f(a)|$。因此，对于任何实数x和任何正数h，有$|f(a h) - f(a)| leq |h| cdo |f(a)|$。
2.1 导数的定义与性质
例
2.1.1 求证：函数$f(x) = x^{}$在点$(0,0)$处连续，但在点$(0,0)$处不可微。
证明：根据连续函数的定义，我们只需要证明当x趋于0时，$f(x)$的极限为0。当x=0时，$f(x)=0$。对于任意给定的正数$varepsilo$，选取一个足够小的正数$dela$，使得当$- dela u003c x u003c dela$时，有$|f(x) - 0| u003c varepsilo$。但是，当x趋于0时，我们有$lim_{x righarrow 0} f'(x) = lim_{x righarrow 0} x^{ - 1} = 0$。因此，当x=0时，$f'(x)=0$。所以函数$f(x) = x^{}$在点$(0,0)$处连续，但在点$(0,0)$处不可微。
